Γεννήθηκε στις 15 Σεπτεμβρίου του 1966 στο Τίτογκραντ(σημερινή Ποντγκόριτσα) στο Μαυροβούνιο και όπως όλα τα παιδιά ξεκίνησε να παίζει ποδόσφαιρο στις γειτονιές με τους συνομηλίκους του και σε γήπεδα 5Χ5. To 1979 θα περάσει για τρείς μήνες απο τα τμήματα υποδομής της Μπούντουτσνοστ αλλά θα αποχωρήσει μιας και ο προπονητής της ομάδας νέων αναβαπτίστηκε στην πρώτη ομάδα.
Το καλοκαίρι του 1981 σε ηλικία 15 ετών θα ενταχθεί στην OFK Titograd και πολύ γρήγορα τον Ιανουάριο του 1983 θα ενταχθεί στην πρώτη ομάδα όπου κατά την διάρκεια της χειμερινής διακοπής θα πάρει μέρος σε τουρνουά με την Σουτιέσκα, την Λόβτσεν αλλά και την Μπούντουτσνοστ
Σε αυτά τα παιχνίδια θα τον δει ο προπονητής της Μπούντουτσνοστ Μίλουτιν Φόλιτς και θα εισηγηθεί για να τον αποκτήσουν. Τον Οκτώβριο του 1983 θα κάνει ντεμπούτο κόντρα στον Ερυθρό Αστέρα Βελιγραδίου όπου μάλιστα θα πετύχει και το νικητήριο γκολ της αναμέτρησης.
Το καλοκαίρι του 1985 περιμένοντας να υπογράψει επαγγελματικό συμβόλαιο με δική του πρωτοβουλία θα μεταβεί στο Βελιγράδι όπου θα συναντηθεί με τον τεχνικό διευθυντή του Ερυθρού Αστέρα Ντράγκαν Τζάιτς.
Ο Τζάιτς ενδιαφέρθηκε για την περίπτωση του και τον τρόπο με τον οποίον θα μπορούσε να αποκτηθεί απο τους "ντέλιγιε". Επειδή όμως δεν είχε υπογράψει επαγγελματικό συμβόλαιο θα έπρεπε να έρθει σε συνεννόηση με την Μπούντουτσνοστ η οποία δεν ήταν πρόθυμη να συζητήσει για πιθανή μετεγγραφή.
Η άλλη λύση να δοθεί κάποιο χρηματικό ποσό δεν ενδιέφερε τον Αστέρα την συγκεκριμένη στιγμή οπότε ο Τζάιτς συμβούλευσε τον Σαβίτσεβιτς να μην υπογράψει επαγγελματικό συμβόλαιο ούτως ώστε να έρθει ως ελεύθερος το 1987 όταν και θα έληγε η τετραετής υποτροφία.
Η αναζήτηση για ένα συμβόλαιο συνεχίστηκε, ήρθε σε προφορική συμφωνία με την Σουτιέσκα, αλλά και αυτή η συμφωνία ναυάγησε. Τελικά οι "κυανόλευκοι" θα του προσφέρουν τετραετές επαγγελματικό συμβόλαιο που θα το αποδεχθεί με τον όρο να του δοθεί ένα διαμέρισμα
Στην πρώτη του πλήρης χρονιά θα είναι πρώτος σκόρερ της ομάδας με 10 τέρματα όμως θα έρθει σε κόντρα με τον προπονητή Σρμπόλιουμπ Μαρκούσεβιτς και μάλιστα προς το τέλος της σεζόν θα του επιβληθεί τιμωρία.
Η επόμενη σεζόν 1986-1987 θα είναι η καλύτερη του αφού ο νέος προπονητής Μίλαν Ζιβαντίνοβιτς θα τον εμπιστευθεί και μάλιστα τον Δεκέμβριο θα αναδειχθεί η αποκάλυψη της χρονιάς, ενώ σε ψηφοφορία του περιοδικού Tempo θα βρίσκεται στους υποψήφιους για το βραβείο του παίκτη της χρονιάς.
Οι εμφανίσεις του προσέλκυσε το ενδιαφέρον της Παρτιζάν και του Ερυθρού Αστέρα, με τους Μαυροβούνιους να είναι θετικοί να τον πουλήσουν στους "γκρομπάρι" όμως ήταν ο Ερυθρός Αστέρας αυτός ο οποίος εξασφάλισε την κατ'αρχήν συμφωνία μιας και η οικονομική προσφορά ήταν πιο συμφέρουσα.
Στην τελευταία του χρονιά θα έρθει σε κόντρα με τον προπονητή του Σπάσο Ποκλέποβιτς παρότι η χρονιά του ήταν αρκετά καλή με 10 γκολ στο Πρωταθλημα σε 29 παιχνίδια. Θα απέχει απο την χειμερινή προετοιμασία και τον Μάρτιο του 1988 η Χάιντουκ θα επιδιώξει να κάνει την ανατροπή προσφέροντας υψηλότερο χρηματικό ποσό απο τους άλλους δύο μνηστήρες όπως είχε αναφέρει σε συνέντευξη του ο ίδιος ο Σαβίτσεβιτς.
Ο ίδιος όμως θα αρνηθεί μιας και ήθελε να τιμήσει έστω και την προφορική συμφωνία που είχε με την ομάδα του Βελιγραδίου. Μάλιστα κόντρα στους Κροάτες στο Σπλίτ θα πραγματοποίησει την τελευταία του εμφάνιση με την Μπούντουτσνοστ και με δύο δικά του γκολ θα ανατρέψει το αποτέλεσμα.
130 συμμετοχές και 36 τέρματα ο απολογισμός του στην Ποντγκόριτσα και τον Ιούνιο ανακοινώθηκε η μετεγγραφή του, αλλά παράλληλα θα έπρεπε να υπηρετήσει και την στρατιωτική του θητεία χάνοντας ουσιαστικά όλη την σεζόν 1988-1989.
Του δόθηκε η δυνατότητα να αγωνίζεται μόνο στα ευρωπαϊκά παιχνίδια και σε αυτά της εθνικής, με τον προπονητή των νέων Βόικαν Μέλιτς να ταξιδεύει στα Σκόπια όπου υπηρετούσε για να τον προπονεί. Ύστερα απο απόφαση του προέδρου της Ομοσπονδίας Μίλαν Μίλιανιτς θα δημιουργηθεί μια ειδική μονάδα απο ποδοσφαιριστές οι οποίοι θα μπορούν να προπονούνται με την έδρα αυτής της υπηρεσίας να βρίσκεται στο Βελιγράδι.
Μάλιστα αυτή η ομάδα έδινε και φιλικούς αγώνες σε διάφορες γιορτές, και απο το καλοκαίρι του 1989 θα ενταχθεί κανονικά στην ομάδα. Θα κατακτήσει 3 Πρωταθλήματα το 1990, το 1991 και το 1992, 2 Κύπελλα το 1990 και το 1992, όμως η καταξίωση θα έρθει με την κατάκτηση του Κυπέλλου Πρωταθλητριών στο Μπάρι κόντρα στην Μαρσέιγ στην διαδικασία των πέναλντι το 1991.
θα έρθει και το Διηπειρωτικό κόντρα στην Κόλο Κόλο αν και ο ίδιος αποβλήθηκε στο 42'. Στην ψηφοφορία της Χρυσής Μπάλας το 1991 θα καταλάβει την δεύτερη θέση πίσω απο τον Ζαν Πιερ Παπέν, ενώ στην ψηφοφορία της εφημερίδας Sport ανακηρύχθηκε κορυφαίος Γιουγκοσλάβος αθλητής.
115 συμμετοχές και 41 τέρματα και το καλοκαίρι του 1992 η Μίλαν θα προσφέρει το ποσό των 30 εκατομμυρίων γερμανικών μάρκων για να τον φέρει στο Μιλάνο. Όμως στην πρώτη του σεζόν θα δυσκολευτεί ιδιαίτερα αφού πολλές φορές βρέθηκε εκτός αποστολής μιας και υπήρχε ο περιορισμός των τριών ξένων με τον Φάμπιο Καπέλο να μην τον υπολογίζει.
Σκέφτοταν έντονα το ενδεχόμενο να αποχωρήσει τον Δεκέμβριο με τις Μαρσέιγ και Ατλέτικο Μαδρίτης να ενδιαφέρονται να τον κάνουν δικό τους. Είχε 10 συμμετοχές στο Πρωτάθλημα το οποίο κατέκτησαν οι "ροσονέρι" ενώ στον τελικό του Champions League στο Μόναχο κόντρα στην Μαρσέιγ ήταν εκτός αποστολής.
Οι ανακατατάξεις της επόμενης χρονιάς ειδικά όσον αφορά τους ξένους θεωρήθηκε απο τον Σαβίτσεβιτς ευκαιρία να πάρει μεγαλύτερο χρόνο συμμετοχής. Όμως ο Καπέλο και πάλι δεν τον υπολόγιζε και εάν δεν ήταν ο Σίλβιο Μπερλουσκόνι μεγάλος θαυμαστής του τότε ήδη θα είχε φύγει απο την Λομβαρδία.
Χαιλάιτ της καριέρας του το εκπληκτικό γκολ με λόμπα που πέτυχε κόντρα στην Μπαρτσελόνα στον νικητήριο τελικό του Champions League to 1994 στο Ολυμπιακό Στάδιο της Αθήνας ενώ την ίδια χρονιά πανηγύρισε την κατάκτηση του Πρωταθλήματος αλλά και του Ευρωπαϊκού Σούπερ Καπ.
Θα κατακτήσει το Πρωτάθλημα του 1996 και το καλοκαίρι του 1998 ύστερα απο 144 συμμετοχές και 35 τέρματα θα αποχωρήσει απο την Ιταλία και θα μείνει εκτός δράσης για έξι μήνες. Τον Ιανουάριο του 1999 θα επιστρέψει στον Ερυθρό Αστέρα όπου θα προλάβει να αγωνιστεί μόνο σε 3 παιχνίδια αφού τον Μάρτιο το πρωτάθλημα θα διακοπεί λόγω των αεροπορικών βομβαρδισμών του ΝΑΤΟ.
Το καλοκαίρι του 1999 θα αγωνιστεί στην Αυστρία για λογαριασμό της Ραπίντ στην οποία θα πραγματοποιήσει 54 συμμετοχές και 20 τέρματα και τον Μάιο του 2001 θα αποχωρήσει απο την ενεργό δράση.
Στις 29 Οκτωβρίου του 1986 θα κάνει ντεμπούτο με την εθνική Γιουγκοσλαβίας στο Σπλίτ κόντρα στην Τουρκία. Θα είναι στην αποστολή για το Παγκόσμιο Κύπελλο της Ιταλίας το 1990 όπου θα αγωνιστεί σε τρία παιχνίδια, όπως και σε αυτή του EURO 1992 όπου όμως λόγω του εμπάργκο που επιβλήθηκε στην Γιουγκοσλαβία, η Γιουγκοσλαβία αποβλήθηκε απο την διοργάνωση.
Έξι χρόνια αργότερα θα είναι παρών στο Παγκόσμιο Κύπελλο της Γαλλίας το 1998 όπου θα παίξει σε δύο παιχνίδια. Στο Ζάγκρεμπ για τα προκριματικά του EURO 2000 κόντρα στην Κροατία στις 9 Οκτωβρίου του 1999 θα πραγματοποιήσει την 56η και τελευταία του εμφάνιση έχοντας πετύχει και 19 τέρματα.
Λόγω τραυματισμών άλλωστε δεν θα μπορέσει να πάρει μέρος στην τελική φάση στα γήπεδα του Βελγίου και της Ολλανδίας. Τον Μάιο του 2001 μαζί με τον Βουγιαντίν Μπόσκοφ και τον Ίβαν Τσούρκοβιτς θα αναλάβουν αρχικά απο κοινού την τεχνική ηγεσία της εθνικής, και απο τον Δεκέμβριο του 2001 θα αναλάβει μόνος του.
Το ξεκίνημα στην προκριματική φάση του EURO 2004 δεν ήταν και το καλύτερο δυνατό και τον Ιούνιο του 2003 μετά την ήττα απο το Αζερμπαϊτζάν παραιτήθηκε έχοντας σε 17 παιχνίδια, 4 νίκες, 2 ισοπαλίες και 11 ήττες.
Το καλοκαίρι του 2004 θα αναλάβει την ηγεσία της ποδοσφαιρικής ομοσπονδίας του Μαυροβουνίου η οποία τότε βρισκόταν υπό την σκεπή της ομοσπονδίας Σερβίας-Μαυροβουνίου, θέση στην οποία επανεξελέγη τον Ιούνιο του 2009 όντας πλέον αυτόνομη η ομοσπονδία του Μαυροβουνίου, τον Ιούλιο του 2013 και τον Ιούλιο του 2017.
Πάντοτε ήταν ενεργός στην πολιτική, μέλος και υποστηρικτής των Σοσιαλιστών, ενώ ήταν και υποστηρικτής της ανεξαρτησίας του Μαυροβουνίου απο την Σερβία το 2006 στο πλευρό του Μίλος Τζουκάνοβιτς.
Πάντοτε οι δηλώσεις του προκαλούσαν το ενδιαφέρον, την άνοιξη του 2006 σε συνέντευξη του στον τηλεοπτικό σταθμό ΝΤV Montena ανέφερε ότι όντας μέλος της Μπούντουτσνοστ αγωνίστηκε σε στημένα παιχνίδια στην δεκαετία του '80 ενώ ανέφερε ότι και την περίοδο 2005-2006 υπήρχαν στημένοι αγώνες, με την Ομοσπονδία να ανακοινώνει ότι θα προβεί σε επίσημη έρευνα ζητώντας απο τον Σαβίτσεβιτς να έρθει σε ακρόαση και να φέρει αποδείξεις.
Θα έρθει σε κόντρα με τον αντιπρόεδρο της Ομοσπονδίας και πρόεδρο της Ζέτα Ράγιο Μπόζοβιτς, όπως και για πέντε χρόνια απο το 2006 έως το 2011 με την ημερήσια εφημερίδα Dan.
