Μαζί με τον Φερνάντο Ρεντόντο ήταν δύο από τα "θύματα" του Ντανιέλ Πασαρέλα όταν η μεγάλη βεντέτα του παρελθόντος ζήτησε από όλους τους μακρυμάλληδες να κόψουν τα μαλλιά τους για να συμπεριληφθούν στην αποστολή για τα γήπεδα της Γαλλίας και αυτοί ήταν οι μόνοι οι οποίοι αρνήθηκαν. Επίσης το 1993 τιμωρήθηκε με αποχή 13 μηνών από την αγωνιστική δράση λόγω χρήσης κοκαΐνης ενώ είναι και κολλητός φίλος του Ντιέγκο Μαραντόνα.
Ο Κλαούντιο Κανίγια γεννήθηκε στις 9 Ιανουαρίου του 1967 στην πόλη Χέντερσον της επαρχίας του Μπουένος Αίρες και παρότι τα πρώτα του βήματα στον αθλητισμό τα έκανε ως αθλητής του στίβου στο αγώνισμα των 100 μέτρων, από εκεί άλλωστε του βγήκε το παρατσούκλι "γιος του ανέμου" στην συνέχεια τον κέρδισε το ποδόσφαιρο ξεκινώντας την καριέρα του από την Ρίβερ Πλέιτ.
Με τους "μιλιονάριος" αγωνίστηκε για τρία χρόνια έχοντας 63 συμμετοχές και 8 γκολ πανηγυρίζοντας μαζί της το Πρωτάθλημα, το Κόπα Λιμπερταδόρες, το Διηπειρωτικό Κύπελλο και το Copa Interamericana όλα αυτά σε μόνο μία χρονιά το 1986.
Ακολουθεί η εξαετή πορεία του στα γήπεδα της Ιταλίας σε τρεις ομάδες ξεκινώντας από την Βερόνα την σεζόν 1988-1989 με 29 συμμετοχές και 7 γκολ, στην Αταλάντα από το 1989 έως το 1992 με 120 συμμετοχές και 31 γκολ και τέλος στην Ρόμα από το 1992 έως το 1994 με 25 μόνο συμμετοχές και 9 γκολ μιας και είχε τιμωρηθεί με αποκλεισμό ενός έτους λόγω χρήσης κοκαΐνης.
Με την λήξη της τιμωρίας το "πουλί" μετακόμισε στην Πορτογαλία για λογαριασμό της Μπενφίκα ως δανεικός ύστερα από την μεσολάβηση της γνωστής εταιρίας Parmalat έχοντας 34 συμμετοχές και 16 γκολ την σεζόν 1994-1995.
Με την μεσολάβηση του Αρμενιο-Αργεντινού επιχειρηματία Εντουάρντο Εουρνεκιάν το καλοκαίρι του 1995 απέκτησε τα δικαιώματα του από την Ρόμα και του Μαραντόνα από την Ρασιγκ Κλάμπ και στην συνέχεια τους δάνεισε στην Μπόκα Τζούνιορς με έναν και μοναδικό όρο να μεταδοθούν τα παιχνίδια από τους τηλεοπτικούς σταθμούς που είχε στην διάθεσή του.
Με την μεσολάβηση του Αρμενιο-Αργεντινού επιχειρηματία Εντουάρντο Εουρνεκιάν το καλοκαίρι του 1995 απέκτησε τα δικαιώματα του από την Ρόμα και του Μαραντόνα από την Ρασιγκ Κλάμπ και στην συνέχεια τους δάνεισε στην Μπόκα Τζούνιορς με έναν και μοναδικό όρο να μεταδοθούν τα παιχνίδια από τους τηλεοπτικούς σταθμούς που είχε στην διάθεσή του.
Τα πράγματα όμως δεν εξελίχθηκαν ομαλά αφού με την ολοκλήρωση του πρώτου χρόνου του συμβολαίου του η σύζυγός του αρνήθηκε να επιστρέψει στην Αργεντινή. Τον Σεπτέμβριο του 1996 συνέβη ένα τραγικό περιστατικό αφού η μητέρα του αυτοκτόνησε πηδώντας από τον πέμπτο όροφο της πολυκατοικίας.
Όπως ήταν λογικό δεν αγωνίστηκε καθόλου την σεζόν 1996-97, ενώ την αμέσως επόμενη σεζόν αγωνίστηκε σε 26 παιχνίδια πετυχαίνοντας 5 τέρματα. Το καλοκαίρι του 1999 επέστρεψε στην Ιταλία και το Μπέργκαμο όμως ούτε και εκεί μακροημέρευσε αφού τσακώθηκε με τον προπονητή του Τζιοβάνι Βαβασόρι.
Ύστερα από μόλις ένα χρόνο αποχώρησε από τους "ορομπίτσι", με τον Ιβάνο Μπονέτι πού ήταν προπονητής στην Νταντί να τον πείθει να έρθει να δοκιμάσει την τύχη του στην Σκωτία. Οι εμφανίσεις του με τους "μπλέ" (25 παιχνίδια και 8 τέρματα), ώθησαν τους υπευθύνους των Ρέιντζερς το καλοκαίρι του 2001 να κινηθούν για την απόκτησή του.
Πολύ γρήγορα αγαπήθηκε από το κοινό του "Άιμπροξ" ειδικά από την στιγμή που σκόραρε εναντίον της Σέλτικ στον τελικό του Λίγκ Καπ το 2003, πετυχαίνοντας 21 γκολ σε 78 συμμετοχές. Με τους "τζέρς" κατέκτησε το Πρωτάθλημα του 2003, το Κύπελλο του 2002 και τα Λίγκ Καπ του 2002 και του 2003.
Ολοκλήρωσε την ποδοσφαιρική του καριέρα στο Κάταρ με την Qatar Sports Club με την οποία κατέκτησε το 2004 το Κύπελλο του Πρίγκηπα.
Τον Ιούνιο του 2012 ο Κανίγια μαζί με τους Πάρλουρ, Κίον, Λεσό, Μορένο, Ντίκιο, ΜακΜπράιντ, με τεχνικό υπεύθυνο τον Τέρι Βέναμπλς και προπονητή τερματοφυλάκων τον Ντέιβιντ Σίμαν επανήρθαν στην αγωνιστική δράση για λογαριασμό της ημιεπαγγελματικής ομάδας Wembley FC για τον πρώτο γύρο του FA Cup όπου μάλιστα πέτυχε και γκολ στην πρόκριση απέναντι στην Λάνγκφορντ τον Αύγουστο.
Με την φανέλα της "αλμπισελέστε" έκανε ντεμπούτο στις 10 Ιουλίου του 1987 σε φιλικό παιχνίδι στην Ζυρίχη κόντρα στην Ιταλία. Συμμετείχε στα Copa America του 1987 και του 1989, κατέκτησε αυτό του 1991 όπου πέτυχε δύο γκολ.
Κατέκτησε επίσης το Confederations Cup του 1992 όπου στον τελικό κόντρα στην Σαουδική Αραβία σκόραρε. Συμμετείχε στην τελική φάση του Παγκοσμίου Κυπέλλου του 1990 στην Ιταλία, όπου πέτυχε το νικητήριο γκολ με την Βραζιλία στην προημιτελική φάση ενώ σκόραρε και στον ημιτελικό με την Ιταλία.
Ήταν επίσης βασικό μέλος της ομάδας στο Παγκόσμιο Κύπελλο του 1994 στις Ηνωμένες Πολιτείες όπου πέτυχε 2 γκολ ενώ αποκλείστηκε από τον Ντανιέλ Πασαρέλα από την 23αδα της Αργεντινής στο Παγκόσμιο Κύπελλο του 1998 στην Γαλλία.
Η έκπληξη ήρθε από τον Μαρτσέλο Μπιέλσα ο οποίος τον πήρε μαζί του στα γήπεδα της Νοτίου Κορέας και Ιαπωνίας το 2002 χωρίς όμως να αγωνιστεί ούτε λεπτό πήρε όμως μια κόκκινη κάρτα όντας στον πάγκο στο ματς με την Σουηδία.
Τελευταία του παρουσία σε φιλικό παιχνίδι κόντρα στην Ουαλία στο Κάρντιφ στις 13 Φεβρουαρίου του 2002, φτάνοντας συνολικά τις 50 παρουσίες με το εθνόσημο, πετυχαίνοντας 16 γκολ.
